Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.
Определение . Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1 , n 1), (x 2 , n 2), …, (x k , n k).
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат – соответствующие им частоты n i . Точки (x i , n i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Определение. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1 , w 1), (x 2 , w 2), …, (x k , w k).
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат w i . Точки (x i , w i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.
На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:
Рис. 6. Полигон относительных частот.
В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала n i – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.
Определение . Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).
Рис. 7. Гистограмма частот.
Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии .
Площадь i-го частичного прямоугольника равна =─ сумме частот вариантi-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки n.
На рисунке 2 изображена гистограмма частот распределения объема n=100, приведенного в таблице 1.
|
Частичный интервал, длиною h=5 |
Плотность частоты |
|
Определение . Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).
Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадьi-го частичного прямоугольника равна =─ относительной частоте вариант, попавших вi-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.
В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.
Построить полигоны частот и относительных частот распределения.
Для начала построим полигон частот.
Рис. 8. Полигон частот.
Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.
n = 3 + 10 + 7 = 20.
Получаем
Построим полигон относительных частот.
Рис. 9. Полигон относительных частот.
2. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения.
Найдем плотность частоты :
|
Частичный интервал, длиною h = 3 |
Сумма частот вариант частичного интервала |
Плотность частоты |
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х 1 наблюдалось п 1 раз, х 2 - п 2 раз, х к - п к раз и - объем выборки. Наблюдаемые значения х 1 называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке - вариационным рядом .
Число наблюдений варианты называют частотой, а ее отношение к объему выборки - относительной частотой .
Определение. Статистическим (эмпирическим) законом распределения выборки, или просто статистическим распределением выборки называют последовательность вариант и соответствующих им частот п i или относительных частот .
Статистическое распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения частот, называемой статистическим дискретным рядом распределения:
(сумма всех относительных частот равна единице ).
Пример 1 . При измерениях в однородных группах обследуемых получены следующие выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72,74 (частота пульса). Составить по этим результатам статистический ряд распределения частот и относительных частот.
Решение. 1) Статистический ряд распределения частот:
Контроль: 0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,1 + 0,2 = 1.
Полигоном частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х 2 , а на оси ординат - соответствующие им частоты п i . Точки соединяют отрезками и получают полигон частот.
Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки . Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты х i , а на оси ординат соответствующие им частоты w i . Точки соединяют отрезками и получают полигон относительных частот
Пример 2. Постройте полигон частот и полигон относительных частот по данным примера 1.
Решение: Используя дискретный статистический ряд распределения, составленный в примере 1 построим полигон частот и полигон относительных частот:
 |
2. Статистический интервальный ряд распределения. Гистограмма .
Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются в том случае, когда отличных друг от друга вариант в выборке не слишком много, или тогда, когда дискретность по тем или иным причинам существенна для исследователя. Если же интерисующий нас признак генеральной совокупности Х распределен непрерывно или его дискретность нецелесообразно (или невозможно) учитывать, то варианты группируются в интервалы.
Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).
1. R(размах) = X max -X min
2. k- число групп
3. 
(формула Стерджеса)
4. a = x min , b = x max
Полученную группировку удобно представить в форме частотной таблицы, которая носит название статистический интервальный ряд распределения:
| Интервалы группировки | ... | ||||
| Частоты | ... |
Аналогическую таблицу можно образовать, заменяя частоты n i относительными частотами.
Полигональные фигуры очень напоминают оригами или ограненные драгоценные камни. Давайте разберемся, что такое полигональная графика? И почему дизайнеры так любят использовать этот прием в своих работах ?
Полигон (от греч. polýgonos – многоугольный), полигональная линия – это ломаная линия, составленная из конечного числа прямолинейных отрезков (звеньев). Под полигоном также понимают замкнутую ломаную линию, т. е. многоугольник.
Это визуализация осознанной формы. Художникам и дизайнерам полигон помогает упростить, осмыслить, а значит, в дальнейшем правильно передать форму и объем объекта.
Помогает он и в трехмерной графике. Там полигон - это минимальная поверхность, элемент, из которого складываются каркасы форм любой сложности. Чем больше полигонов, тем более детализованной будет модель. В трехмерной графике в качестве полигонов обычно применяют треугольники.
Полигоны — простые, красивые, лаконичные и бесконечно многообразные вдохновляют многих современных дизайнеров. Из них можно составлять абстрактные композиции и стильные иллюстрации любой сложности
В этой статье вы узнаете много нового о полигонах и полигональной графике и увидите замечательные примеры ее использования. Также здесь собрано несколько уроков, которые помогут вам освоить эту технику.
Трехмерная графика. На этот вопрос нет однозначного ответа. Мастера 3D, предпочтут, несомненно, делать это в 3D max, Maya, или Cinema 4D. Последнее ПО настолько дружелюбно, что в нем может рисовать даже ребенок. В целом, полигональная графика достаточно проста в создании, особенно если сравнивать с фотореалистичной визуализацией. Она напоминает ранние дни компьютерного моделирования и анимации с налетом современных техник. Чем меньше полигонов вы используете на стадии моделирования, тем более абстрактным будет результат. Для выраженного эффекта можно отключить функцию сглаживания в настройках рендеринга, и тогда вы получите четкие грани. Здесь все зависит от эффекта, которого вы хотите достичь. Использование низкополигональной техники совсем не означает, что сцена будет простой. Вы можете использовать сложные текстуры, реалистичные настройки отражений и преломлений в окружающей среде и т. д.
2D графика. Можно создавать полигональные шедевры в таких программах как Adobe Illustrator , и даже Adobe Photoshop . Эти программы, в отличие от специфичных 3D пакетов, хорошо знакомы большинству дизайнеров. Таким методом можно создавать стилизованные, декоративные изображения с потрясающими
А еще можно дополнять полигональную графику фотографиями, создавая удивительные коллажи, напоминающие дополненную реальность и намекающие о связях между реальным и виртуальными мирами. Некоторые работы дополняются типографикой.
Очень простой генератор, который позволит создать низкополигональные фоны с заданной палитрой цветов. Можно создать красивый фон для Вашего дизайна. Готовый полигон можно бесплатно скачать в формате SVG.
Функциональный генератор для создания триангулярных изображений. Создает полигональную композицию из любого растрового изображения. Есть ряд настроек и кнопка рандомизации для получения случайных результатов. После того как изображение будет готово Вы сможете скачать его в форматах PNG и SVG.
На волне популярности полигональной графики стали создаваться в таком стиле
Эта техника позволяет создавать работы любой сложности.
В этих уроках показано, как создать полигональный портрет
Полигон частот
Пусть нам дан ряд распределения, записанный с помощью таблицы:
Рисунок 1.
Определение 1
Полигон частот -- ломанная, которая соединяет точки $(x_m,n_m)$ ($m=1,2,\dots ,m)$.
То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие частоты. Полученные точки соединяют ломанной:
Рисунок 2. Полигон частот.
Помимо обычной частоты существует еще понятие относительной частоты.
Получаем следующую таблицу распределения относительных частот:
Рисунок 3.
Определение 2
Полигон относительных частот -- ломанная, которая соединяет точки $(x_m,W_m)$ ($m=1,2,\dots ,m)$.
То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие относительные частоты. Полученные точки соединяют ломанной:
Рисунок 4. Полигон относительных частот.
Помимо понятия полинома для непрерывных значений существует понятие гистограммы.
Заметим, что площадь одного такого прямоугольника $\frac{n_ih}{h}=n_i$. Следовательно, площадь всей фигуры равна $\sum{n_i}=n$, то есть равна объему выборки.
Определение 4
Гистограмма относительных частот -- ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием -- частичными интервалами длины $h$ и высотами $\frac{W_i}{h}$:
Рисунок 6. Гистограмма относительных частот.
Заметим, что площадь одного такого прямоугольника $\frac{W_ih}{h}=W_i$. Следовательно, площадь всей фигуры равна $\sum{W_i}=W=1$.
Пример 1
Пусть распределение частот имеет вид:
Рисунок 7.
Построить полигон относительных частот.
Построим сначала ряд распределения относительных частот по формуле $W_i=\frac{n_i}{n}$
Полигон распределения вероятностей
Аналогично все указанные приемы обработки и построения могут быть распространены и на другие показатели, например на объемы поставок, интервалы между поставками, объемы суточных отпусков и суточных объемов поставок. Эти полигоны распределения описывают, как в течение отчетного года на предприятии изменялись объемы поставок, интервалы поставок и объемы суточных отпусков и т.д.
Любой полигон описывается набором средних значений интервалов (диапазонов) вариаций какого-либо одного признака и частостью появления этого среднего значения . Каждый из полигонов распределения можно выразить аналитически, например, для ряда распределения объемов поставок (Q, W), формула будет выглядеть следующим образом
Аналогично аналитически можно выразить полигоны распределения интервалов между поставками (Т, У) и объемов суточных отпусков (R, СО
Полигон распределения - ломаная линия, построенная на графике и характеризующая изменение вероятностей различных исходов событий при повторных испытаниях.
Следующей задачей является оценка возможных сочетаний значений нормообразующих факторов, которые могут иметь место в интервалах отгрузки в плановом году. Возможность получения результата вытекает из анализа данных, приведенных на рис. 5.8 и 5.9. На каждом из этих 12 графиков построены два полигона распределений вариаций значений нормообразующих факторов в целом за три года и за один год из этого же периода. Они построены по четырем предприятиям - горно-обогатительному и лесообрабатывающему комбинатам и двум машиностроительным заводам. На графиках по осям абсцисс отложены диапазоны вариаций значений нормообразующих факторов на каждом из этих предприятий, а по осям ординат - частости появления значений признаков в соответствующих периодах. Штриховые линии полигонов, проведенные на графиках, построены по результатам обработки фактических данных за один отчетный год (1), сплошные - в целом за трехлетний период (Z).
Поскольку, как уже говорилось выше, из полигона распределения легко можно получить гистограмму и наоборот, использование данного метода рассмотрим в предположении, что исходным графиком является гистограмма. В случае, если известен только полигон распределения, мы можем восстановить по нему гистограмму, тщательно его измерив и определив опорные точки (середины интервалов) этого полигона, и затем применить изложенный метод непосредственно к гистограмме. Относительно способа ее построения примем следующие допущения.
В табл. 6.3.1 показаны все необходимые исходные данные, позволяющие рассчитать эмпирическую функцию распределения , гистограмму и полигон распределения.
Ниже на рис. 6.3.10 и 6.3.11 приведены гистограмма и полигон распределения относительных частот.
II. Диаграммы 1. Диаграммы рас- а) ДГ распределения по одному полигон распределения гистограмма
Вариационные ряды могут быть изображены графически в виде полигона распределения и гистограммы.
Полигон распределения и гистограмма есть реализация распределения выборочной совокупности при ограниченном числе наблюдений (N), а предельная кривая при N - > °° является распределением генеральной совокупности . Распределение генеральной совокупности является теоретическим распределением. Отдельные распределения изучены и поддаются точному аналитическому опи-
Если уменьшить интервалы и одновременно увеличивать число наблюдений при конечной численности группы, то полигон распределения и гистограмма станут приближаться
Для изображения вариационных рядов применяются линейные и плоскостные диаграммы , построенные в прямоугольной системе координат . При дискретной вариации признака графиком вариационного ряда служит полигон распределения. Рассмотрим пример его построения по следующим данным.
Полигон распределения представляет собой замкнутый многоугольник, абсциссами вершин которого являются значения варьирующегося признака, а ординатами - соответствующие им частоты (рис. 3.8).
Наглядно ряды распределения можно представить при помощи их графического изображения, позволяющего судить о форме распределения. Наиболее часто для этой цели используют полигон и гистограмму.
На графике (рис. 4.1) представлены полигон (ломаная прямая) и гистограмма (совокупность прямоугольников) вышеуказанного распределения.
Полигон степени влияния отобранных факторов на изучаемый показатель - распределение суммы рангов влияния факторов на изучаемый показатель. Если соединить его начало и конец прямой линией, то можно видеть, насколько далека полученная ранжировка от ранжировки, соответствующей полной согласованности мнений опрашиваемых экспертов. При этом возможны три случая ранжировки
Полигон - это графическое изображение дискретного вариационного ряда в прямоугольной системе координат , при котором величины признака X откладываются на оси абсцисс, а соответствующие им частости W - на оси ординат. Эти точки соединяются отрезками прямой, полученная фигура представляет распределение совокупности по признаку X.
Для расчета специфицированных норм производственных запасов требуется перейти от аналитической записи каждого полигона к вероятностным характеристикам - плотностям распределения вариаций объемов поставок (или соответственно интервалов поставок, объемов суточных отпусков и т.п.). Построенная же по полигону плотность распределения вариаций этого признака - Р(Х X показывает, как будут изменяться вариации признака X в плановом году. Далее будет более подробно пояснено, что эти плотности распределения обладают свойством устойчивости, по ним можно рассчитать специфицированные нормы производственных запасов для планового года. Причем будет показано, что чем больше неравномерность (размах вариаций фактора), тем выше должно быть установлено значение определяемой нормы производственного запаса при прочих одинаковых или примерно одинаковых условиях (например, при одном и том же годовом объеме поступления, одинаковых частотах поставок и годовом объеме расхода и т.д.).
Разберем, как от аналитического выражения полигона вариаций признака (например, для объемов поставок - Q, W) перейти к плотности распределения вариаций этого же признака - Q, P(Q). Здесь для двух указанных выше случаев применяются разные обозначения величины вариаций объемов поставок и разные обозначения изменений частости объемов поставок и их вероятностей. В первом случае данные но отчетному
Графически вариационные ряды изображаются в форме кривой распределения или полигона частоты. Приведем пример.
Из цифрового и графического изображения рядов видно, что во втором году произошло значительное улучшение распределения долблений по уровням механических скоростей . Так, во втором году первый интервал оказался совершенно не заполненным, ряд стал короче и вершина полигона сдвинулась вправо к большим показателям скоростей.
| Рис. 13. Гистограмма, полигон и плотность распределения вероятности отсчета у аналогового измерительного прибора | /info/5256">плотности распределения вероятности отсчета р (х), показанную на рис. 13, б.
Вариация данных анализируется с помощью полигона распределения, кумуляты (кривой меньше, чем) и огивы (кривой больше, чем). Все эти виды графиков рассматриваются в главе 5. Линейные графики используются в решении задач классификации данных (см. гл. 6). Применение линейных графиков в анализе динамики рассмотрено в главе 9, а использование их для анализа связей -в главе 8. В этих же главах рассмотрено использование точечных диаграмм (см., например, поле корреляции в гл. 8). Полигон распределения представляет собой многоугольник, который строится на прямоугольной) оооординатной сетке следующим образом. В выбранных масштабахша оси абсцисс наносится шкала для фактических значений случайной величины X, на оси ординат- Построим полигон, гистограмму, кумуляту и огиву (рис. 4.1) на основании следующих данных о распределении сельского населения в России на 1 января 1998 г. по возрастным группам (млн человек). Для наглядности определения закономерностей изменения признака ряд распределения целесообразно представлять вчвиде полигонов (так как все изучаемые в настоящей работе признаки характеризуются дискретными величинами). Для изображения ряда распределения графически необходимо определение размера интервала группировок исходных данных. Для графического изображения рядов распределения кроме гистограммы и полигона могут применяться также кумулятивная кривая и огива1. Физический смысл полигонов вариаций значений нормообразующих факторов, приведенных на рис. 5.8 и 5.9, состоит в следующем они показывают, как изменялись условия производства и отгрузки готовой продукции на предприятиях в отчетных периодах . Из графика, приведенного на рис. 5.8г, следует, что объемы суточного производства пиломатериалов на лесодеревообрабатывающем комбинате ЛДК-4 изменялись в диапазоне от 100 до 900 куб. м (т.е. размах вариаций их будет от Rmia = 100 до -Rmax = 900 куб. м/сутки). Объемы производства пиломатериалов 430 куб. м/сутки составляли основную долю 44% (Р(Ю - 0,44), 580 куб. м/сутки - 28%, 690 куб. м/сутки - 4% и т.д. На рис. 5.8д и 5.8е построены распределения вариаций суточных объемов отгрузок пиломатериалов и интервалов между отгрузками, которые были в отчетном периоде . Объемы суточных отгрузок менялись в диапазоне от 50 до 780 куб. м/сутки (рис. 5.8д). В основном они составляли по 200-500 куб. м/ сутки - 45% (Р(О) = 0,45 при О = 200-580 куб. м/сутки), 580 куб. м/ сутки - 13%, 640 куб. м/сутки - 4% и т.д. |
